RSA Cipher

RSA n°10 | Oracle tell me the True

Introduction : Généralement, dans un contexte de CTF , il est possible de tomber sur un oracle de déchiffrement RSA , on nous donne accès : à un oracle permettant de déchiffrer des messages sauf le flag chiffré le flag chiffré Voici donc plusieurs méthodes pour trouver le flag en clair : Méthode 1: La première méthode est de Factoriser le message $c$ . On peut ainsi demander de déchiffrer les facteurs du flag puis remultiplier les clairs entre eux pour récupérer le message original:

RSA n°9 | Breaking Signature Shema

Introduction : Le chiffrement RSA permet l’utilisation d’un système de signature des messages lors de la transmission de ceux-ci. Ainsi, un message chiffré peut être accompagné de sa signature qui atteste de son intégrité au prêt du serveur. Voici un message chiffré & signé : $<s,c>$ Fonctionnement global. Le chiffrement RSA se compose : un exposant de chiffrement une clé publique une clé privée On va réutiliser les propriétés arithmétiques du chiffrement pour inventer la signature noté $s$ .

RSA n°8 | CopperSmith saves you

Introduction : Don Coppersmith est un mathématicien et cryptologue américain né en 1950. Il a contribué dans de nombreux domaines de la Cryptographie et en particulier le chiffrement RSA. Il s’intéresse particulièrement aux liens possibles entre des notions d’algèbres et les mathématiques arithmétiques du chiffrement RSA Papier de recherche: CopperSmith présente un papier de recherche mathématique nommé : <em>Finding Small Solutions to Small Degree Polynomials</em> Il y explique comment trouver les racines de polynômes à 1 et 2 variables , modulo un entier n grâce à la réduction de Base via des matrices et l’algorithme Lenstra–Lenstra–Lovász (LLL).

RSA n°7 | Hey this is Franklin (Reiter)

Introduction L’attaque Franklin-Reiter sur le chiffrement RSA requiert d’avoir deux messages chiffrés avec une différence connu entre les deux messages Contextualisation Exemple : $m_1 = 100000000000$ $m_2 = 100000000999$ Ici , si la différence $m_2-m_1 = 999$ est connu , alors il est possible de retrouver le message à partir de : $c_1 = m_1^e \pmod n$ $c_2 = m_2^e \pmod n$ A l’origine, cet attaque était faisable pour $e=3$ puis elle a était généralisé pour n’importe quel $e$ .

RSA n°6 | Message for all

Introduction Il est courant d’envoyer le même message à plusieurs personnes et cela pose un gros problème de sécurité pour l’intégrité du message si une personne arrive à intercepter plusieurs communications. Nous allons ici parler de l’attaque Hastads-Broadcast. Contextualisation On sait qu’un message chiffré par RSA est de la forme : $c = m^e \pmod n$ Nous avions vu ici que si $m$ était petit, on pouvait déchiffrer le message en appliquant une racine $3^{ième}$ au texte chiffré.

RSA n°5 | E takes confidence

Introduction Nous allons ici voir 2 vulnérabilités sur RSA liés à un mauvais choix de l’exposant $e$. Contextualisation On sait que $d$ , clé privée du chiffrement RSA est généré de la sorte: $d = e^{-1} \pmod \Phi(n)$ Par convention, on utilise souvent $e=3$ ou $e=65537$ . Mais pourquoi ? Ces nombres présentes plusieurs propriétés intéressante, d’abord : ils sont premiers ils sont petits C’est $2$ premières propriétés sont majeures , elles permettent un temps de calcul raisonnable pour le chiffrement/déchiffrement des messages .

RSA n°4 | Fermat is Watching U

Introduction Nous allons ici voir 2 vulnérabilités sur RSA liés à une mauvaise génération de clé publique. Vulnérabilité : On rappelle que $n$ et généré avec $p$ et $q$ très grand : $n = p*q$ . On se place dans un cas idéal ou $p$ et $q$ cryptographiques et que donc $n$ n’est pas cassable par force brute . La vulnérabilités réside dans le fait que $p$ et $q$ sont très proche.

RSA n°3 | Module/Premier commun

Introduction Nous allons ici voir 2 vulnérabilités sur RSA liés à une mauvaise gestion des clés publiques . Common Modulus . On suppose le schéma suivant : On dispose de 2 chiffrés différent à partir d’un même message et d’une clé commune (n): $c_1 = e_1^{-1} \pmod {\Phi(n)}$ $c_2 = e_2^{-1} \pmod {\Phi(n)}$ Alors si on a les égalité suivantes, alors on peut décoder le message $c_1$ ( = $c_2$):

RSA n°2 | Premières attaques

Introduction Nous avons vu précédemment (ici) que le chiffrement RSA reposé sur 2 nombres premiers , notés $p$ et $q$. Grâce à ces deux nombres cryptographiquement grands, il était ainsi possible de générer une paires de clé $(publique/privée)$ et chiffré des messages grâce à celle-ci. Nous allons voir ici quelques premières vulnérabilités sur le chiffrement RSA. 1) $P$ et $Q$ trop petit. On rappèle que la clé privée est :

RSA n°1 | Principes Fondamentals

Introduction Le chiffrement RSA est utilisé pour chiffrer des communications, il est aujourd’hui souvent utilisé pour les certificats SSL sur internet ou encore les clés de connections via le protocole ssh. Il est dit asymétrique car il fonctionne par paires de clés. Toute la sécurité de ce chiffrement repose sur le fait qu’il est aujourd’hui infiniment long de factoriser un nombre cryptographique rapidement . Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman ont ainsi crée un chiffrement basé sur l’arithmétique modulaire, encore d’actualité aujourd’hui.

RSA n°0 | Bases Mathématiques

Introduction Voici les différents théorèmes est application pour comprendre le chiffrement RSA Opération Modulaires L’opérateur modulo et une opération qui retourne le reste de la division euclidienne d’un nombre A par B: $a \equiv r \pmod b$ $\Rightarrow~\exists~k \in N~|~a = b*k + r$ Si r = 0 , on dit que n divise a Pgcd Le PGCD (ou gcd) de 2 nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres :

RSA n°5 | E takes confidence

Planted November 30, 2022

Introduction

Nous allons ici voir 2 vulnérabilités sur RSA liés à un mauvais choix de l’exposant $e$.

Contextualisation

On sait que $d$ , clé privée du chiffrement RSA est généré de la sorte:

  • $d = e^{-1} \pmod \Phi(n)$

Par convention, on utilise souvent $e=3$ ou $e=65537$ .

Mais pourquoi ?

Ces nombres présentes plusieurs propriétés intéressante, d’abord :

  • ils sont premiers
  • ils sont petits

C’est $2$ premières propriétés sont majeures , elles permettent un temps de calcul raisonnable pour le chiffrement/déchiffrement des messages .

De plus , ils sont de la forme $e = 2*k + 1$ . ( 65537 = 2^16+1) .
Ils sont appelé nombres premiers de Fermat et surtout, ils vérifient la propriété :

$gcd(p-1,e) = 1$
$\implies p \not\equiv 1 \pmod e$

A la liste peuvent donc s’ajouter : 5,17,257.

Problème

Que se passe t’il si on décide de choisir un exposant $e$ très grand ?
On pourrait de dire que intuitivement, le chiffrement n’en serait que plus robuste et plus long en calcul. En réalité, il n’en ai rien et vous faites une grosse erreur en pensant cela .

En augmentant $e$ , vous pouvez influencer la taille de la clé privée $d=e^{-1} \pmod \Phi$ et 2 attaques permettent de retrouver cette si précieuse clé privée .

Attaque de Wiener

Conditions :

L’attaque requiert 2 conditions : $\begin{cases} d < \dfrac{1}{3}*N^{\dfrac{1}{4}} \newline q < p < 2*q \newline \end{cases}$

Théorème de Wiener :

Si $\begin{cases} d < \dfrac{1}{3}*N^{\dfrac{1}{4}} \newline q < p < 2*q \newline \end{cases}$

Alors d peut être retrouver en cherchant la bonne fraction $\dfrac{k}{d}$ parmi les convergentes de $\dfrac{e}{n}$

Démonstration:

On sait que :

$d=e^{-1} \pmod \Phi$
$\implies e*d \equiv 1 \pmod \Phi$
$\implies\exists k ~tel~que : e*d = k*\Phi(n)+1$
$\implies\exists k ~tel~que : |e*d-k*\Phi(n)| = 1$
$\implies\exists k ~tel~que : |\dfrac{e}{\Phi(n)} - \dfrac{k}{d} = | \dfrac{1}{d*\Phi(n)}$

De plus :
$\Phi(n)=(p-1)*(q-1)$
$\implies\Phi(n)=n-q-p+1$
$\implies |n - \Phi(n)| = p+q-1 < 3 \sqrt n$ (car q<p<2q)

Finalement :
$\exists k ~tel~que : |\dfrac{e}{n} - \dfrac{k}{d} = | \dfrac{e*d - k*n}{n*d}| $
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= | \dfrac{e*d - k*n -k*\Phi(n) +k*\Phi(n)}{n*d}| $
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= | \dfrac{1-k*(n-\Phi(n))}{n*d}| $
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~< | \dfrac{3*k*\sqrt n}{n*d}| $

Or : $k*e < k*\Phi(n) = d*e-1 < d*e$
$\implies k < d < \frac{1}{3}*n^{\frac{1}{4}}$

D’où :
$\exists k ~tel~que : |\dfrac{e}{n} - \dfrac{k}{d} < | \dfrac{3*\frac{1}{3}*n^{\frac{1}{4}}*\sqrt n}{n*d}|$
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~< | \dfrac{1}{d*n^{\dfrac{1}{4}}*\sqrt n}| $
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~< | \dfrac{1}{d*n^{\dfrac{1}{4}}}| $
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~< | \dfrac{1}{3*d^3}| $

(Reference: Sage.io)

Polynôme $\Phi(n)/n$:

On sait que :
$\Phi(n) = (p-1)*(q-1)$ $\implies \Phi(n) = N-q-p + 1$
$\implies \Phi(n) = N - p - \dfrac{N}{p} + 1$
$\implies p^2 + p*(\Phi(n)-n-1)-n = 0$

Algorithme de factorisation :

Voici les étapes à suivre :

  • Déterminer les fractions continues de $\dfrac{e}{n}$
  • Déterminer les approximation des $\dfrac{e}{n}$ qu’on note $\dfrac{k}{d}$
  • Pour chaque $\dfrac{k}{d}$ , on calcule $\Phi(n) = \dfrac{e*d-1}{k}$ avant de résoudre l’équation polynomial évoqué plus haut .
  • Les racines du polynôme peuvent être les facteurs $p$ et $q$. Il suffit de recalculer $n$ et comparer le résultat avec sa valeur connue.

Implémentation Python:

from sympy import *

def convergents(e):
    n,d = [e[0],e[1]*e[0] + 1],[1,e[1]]
    yield (n[0], n[0]);yield (n[1], n[1])
    for i in range(2,len(e)):
        ni,di = e[i]*n[i-1] + n[i-2],e[i]*d[i-1] + d[i-2]
        [x.append(y) for x,y in [(n,ni),(d,di)]]
        yield (ni, di)

continued_frac = lambda e,n: list(continued_fraction_iterator(Rational(e,n)))     
validity_check = lambda r,n: len(r) == 2 and n == r[0]*r[1]

def Wiener(e,n):
    def solver(phi,n):
        p = Symbol('p', integer=True)
        return solve(p**2 + (phi - n - 1)*p + n, p)
    for pk, pd in convergents(continued_frac(e, n)):
        if pk == 0:
            continue;
        roots = solver((e*pd - 1)//pk,n)
        if validity_check(roots,n):
            return roots
    return (0,0)

Attaque de Boneh Durfee

Cette attaque est dans la continuité de l’attaque Wiener et est possible dans des conditions similaires :

  • $d < n^{\dfrac{1}{2}*{(2-\sqrt{2})}} \approx n^{0,292}$

On sait que :

$e*d \equiv 1 \pmod{\Phi{(n)}}$
$\implies e*d = k*\Phi{(n)} +1$
$\implies 1 = e*d + \dfrac{k’*\Phi{(n)}}{2}$
$\implies 1 = e*d + \dfrac{k’*(p-1)*(q-1)}{2}$
$\implies 1 = e*d + \dfrac{k’*(n-q-p+1)}{2}$
$\implies 1 = e*d + k’*\bigg(\dfrac{(n+1)}{2}+\dfrac{(-p-q)}{2}\bigg)$
$\implies 1 = e*d + k’*(x+y)$

avec :

  • $x = \dfrac{(n+1)}{2}$
  • $y = \dfrac{(-p-q)}{2}$

On peut réécrire l’équation comme :

  • $\mathbf{2*k’’*(x+y)+1 \equiv 0 \pmod e}$

David Wong explique ici que cette équation peut être reformulée sous la forme :

$\mathbf{f(x,y) = x*(A+y)}$
et :

  • $a=n+1$
  • $y = -q-p$

Ainsi , les racines de ce polynôme nous permettent de calculer la clé privée $d$.
Pour les trouver , on peut utiliser la méthode de Coppersmith's pour les polynômes à plusieurs variables ainsi que le théorème de Howgrave-Graham pour les polynômes bivariants

Voici une implémentation efficace de cette attaque : ici