Introduction :

Don Coppersmith est un mathématicien et cryptologue américain né en 1950. Il a contribué dans de nombreux domaines de la Cryptographie et en particulier le chiffrement RSA.
Il s’intéresse particulièrement aux liens possibles entre des notions d’algèbres et les mathématiques arithmétiques du chiffrement RSA

Papier de recherche:

CopperSmith présente un papier de recherche mathématique nommé : Finding Small Solutions to Small Degree Polynomials
Il y explique comment trouver les racines de polynômes à 1 et 2 variables , modulo un entier n grâce à la réduction de base via des matrices et l’algorithme Lenstra–Lenstra–Lovász (LLL). C’est racines sont appelées Small Roots et la technique de Coppersmith a été optimisée par Howgrave-Graham.

Application au RSA:

Premier cas : Clair connu

On suppose qu’on soit en présence d’un message chiffré classiquement ainsi qu’une partie de texte déchiffré.

• Exemple: c = Bonjours , voici votre clé privée : XXXXXX"
  Ici “Bonjours , voici votre clé privée :” est une clair connu et on peut l’exploiter pour retrouver le message d’origine , complet.

Condition & Mise en équation :

On a d’habitude :

• $\begin{cases} n = p*q \newline c = m^e \pmod n \end{cases}$

Ici , on peut écrire M la partie connu et m la fin du message :

• $\begin{cases} n = p*q \newline c = (M+m)^e \pmod n \end{cases}$

Condition:

(Cas e=3) CopperSmith a montré que cette attaque était efficace si :

• $x < \dfrac{1}{2} N^{\dfrac{1}{δ}-e}$
  $\implies x < 0.167$

On se place ici dans $Z/nZ$ , on pose le polynôme (e=3):

• $f:x \rightarrow (m+x)^e - c$
  $\implies f(x) = x^3+3mx^2+3m^2x+m^3-c$
  $\implies δ=3$

On cherche $x$ tel que $f(x) = 0 \pmod n$. Ce $x$ correspond au bits manquants du message, la partie m du message complet. Cela est possible grâce à l’algorithme LLL de réduction de base.

Résolution :

On peut utiliser SageMath qui contient directement Small Roots d’implémenté pour résoudre cette équation polynomiale:

def coppersmith(msg,c,n,e,eps=1/20):
	def get_limit(msg):
		spl = msg.split('\x00')
		x = max(len(spl[0]),1)
		x_2 = 1
		while(x_2 < x):
			x_2 *= 2
		y = max(len(spl[-1]),1)
		return x_2,y

	a,b = get_limit(msg)
	msg = int(msg.encode("utf-8").hex(), 16)

	P.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
	f = (msg + (a^b)*x)^e - c
	f = f.monic()
	return f.small_roots(epsilon=eps)

• Exemple:

  n = 805467500635696403604126524373650578882729068725582344971555936471728279008969317394226798274039587275908735628164913963756789131471531490012281262137708844664619411648776174742900969650281132608104486439462068493207388096754400356209191212924158917441463852311090597438686723680422989566039830705971272945580630621308622704812919416445637277433384864510484266136345300166188170847768250622904194100556098235897898548354386415341541887443486684297114240486341073977172459860420916964212739802004276614553755113124726331629822694410052832980560107812738167277181748569891715410067156205497753620739994002924247168259596220654379789860120944816884358006621854492232604827642867109476922149510767118658715534476782931763110787389666428593557178061972898056782926023179701767472969849999844288795597293792471883445525249025377326859655523448211020675915933552601140243332965620235850177872856558184848182439374292376522160931072677877590262080551636962148104050583711183119856867201924407132152091888936970437318064654447142605921825771487108398034919404885812834444299826080204996660391375038388918601615609593999711720104533648851576138805705999947802739408729788376315233147532770988216608571607302006681600662261521288802804512781133
  e = 5
  c = 321344338551168130701947757669249162791535374419225256466002854387287697945811581844875867845545337575193797350159207497966826027124926618458827324785590115214765980153475875175895244152171945352397663605222668892070894285036685408001675776259216704639659684767335997326195127379070104670798191048101430782486785148455557975065509824478935393935463232461294974471055239751453456270779997852527271795223623224696998441762750417393944955667837832299195592347653873362173157136283926817115042942127695355760288879165245940595259284499711202547364332122472169897570069773912201877037737474884548477516093671861643329899650704311880900221217905929830674467383904928054908475945599046498840246878554674443087280023564313470872269644230953001876937807402083390603760508851259383686896871724061532464374712413952574633098739843484563001012414107193262431117290853995664646176812763789444386869148000606985026530596652927567162641583951775993815884965569050328445927871220492529331846189285588168127051152438658813934744257031316581112434690871286836998078235766836485498780504037745116357109237384369621143931229920342036890494878183569174869563857473355851368119174926388706612127773670862261189669510108216517652686402185979222505401328291
  
  msg = "this challenge was supposed to be babyrsa but i screwed up and now i have to redo the challenge.\nhopefully this challenge proves to be more worthy of 250 points compared to the 200 points i gave out for babyrsa :D :D :D\nyour super secret flag is: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX\nyou know what i'm going to add an extra line here just to make your life miserable so deal with it"
  msg = msg.replace("X","\x00")
  m = coppersmith(msg,c,n,e)
  

Exemple du UIUCTF

Deuxième cas : ShortPad Attack

Dans cette nouvelle attaque, on possède 2 fois le même message chiffré mais paddé de deux manières différentes .

CopperSmith nous indique qu’il est possible , à condition que la padding ne soit pas trop grand , de trouver le contenu du message.

Il utilise ses précédentes recherches sur la résolution polynomiale dans $Z/nZ$ ainsi que les recherches sur la récupération de messages par lien affines. (voir franklin reiter ici).

Démonstration

• $\begin{cases} g_1(x,y) = x^e - C_1 \newline g_2(x,y) = (x+y)^e - C_2 \pmod n \end{cases}$

Alors quand $y = r_2 - r_1$ , alors $g_1$ et $g_2$ ont pour racine commune : $x=m_1$ On pose res la résultante de 2 polynômes $\implies \begin{cases} \Delta = r_2-r_1 \newline h(y) = res_x(g1,g2) \in Z_n[y]\pmod n \newline h(\Delta) = 0 % n \end{cases}$

• $|\Delta| < 2^m < N^{\dfrac{1}{e^2}}$
  D’ou $\Delta$ est small roots de $h$ $\pmod n$ et peut donc être retrouvé grâce à la méthode de Coppersmith.
  Quand $\Delta$ est connu, Franklin–Reiter permet de retrouver $m_2$

Référence: Wikipedia

Implémentation en python :

def short_pad_attack(c1, c2, e, n):
    PRxy.<x,y>   = PolynomialRing(Zmod(n))
    PRx.<xn>     = PolynomialRing(Zmod(n))
    PRZZ.<xz,yz> = PolynomialRing(Zmod(n))

    g1 = x^e - c1
    g2 = (x+y)^e - c2

    q1 = g1.change_ring(PRZZ)
    q2 = g2.change_ring(PRZZ)

    h = q2.resultant(q1)
    h = h.univariate_polynomial()
    h = h.change_ring(PRx).subs(y=xn)
    h = h.monic()

    kbits = n.nbits()//(2*e*e)
    delta = h.small_roots(X=2^kbits, beta=0.5)[0]

    return delta

(Script SageMath)

Un fois $\Delta$ retrouvé, on peut appliquer Franklin Reiter :

def franklin_reiter(c1,c2,e,n,delta):
    def gcd(a, b):
        while b:
            a, b = b, a % b
        return a.monic()
    P.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
    g1 = x^e - c1
    g2 = (x+delta)^e - c2
    result = -gcd(g1, g2).coefficients()[0]
    return result